Ìṣedọ́gba yíyàtọ̀ onígbọọrọ ìpele èkíní
( Differential equation )

• Àlàyé ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀
  

Àlàyé
Ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ ni ìṣèdọ́gba ti ojútùú rẹ̀ jẹ́ isẹ́,  tí àwọn àtúpalẹ̀ rẹ̀ sí wà nínú ìṣèdọ́gba náà.

Àpẹẹrẹ

1. Ìṣèdọ́gba f’(t)= 5 jẹ́ ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ ti f jẹ́ àìmọ̀, a tún lè kọ báyìí: y’=5

2. Ìṣèdọ́gba y’ = 2t² – 3 tún jẹ́ ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ abájáde jẹ́ iṣẹ́ y tí àtúpalẹ̀ rẹ̀ 2t² + 3

• Ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ irú y’ = f

Àlàyé :  Nígbà tí a bá ròronuwòye iṣẹ́ f tí a ṣàlàyé nínú ìkókó I, iṣẹ́ g jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ y’ = f  nígbà tí  g’(t) = f(t) nìkan.

             Àbùdá :
Nígbà tí a bá sọ pé F jẹ́ orísun f, èyí túmọ̀ sí pé F jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ y’ = f

• Ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ irú y’= ay

Àbùdá :
Àwọn ojútùú ìṣèdọ́gba y’ = ay a ∈ R ni àwọn isẹ́ tí ìrísí wọn jẹ́
t à  Ce^at  tí C jẹ́ aláìṣeyípadà èyíkeyí

            Àbùdá :
            Àwọn ojútùú ìṣèdọ́gba y’ = ay a ∈ R ni àwọn isẹ́ tí ìrísí wọn jẹ́
t à  Ce^at  tí C jẹ́ aláìṣeyípadà èyíkeyí

                  Déìṣàfíhàn :

• Nígbà tí a bá ròronuwòye iṣẹ́ f tí a ṣàlàyé sórí R pẹ̀lú f(t) = Ce^at
  f’(t) = Cae^at  = af(t)

                                           f’(t) = af(t)

              f jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gbà  y’= ay

• Jíjùmọ̀:

  Nígbà tí f jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gbà y’ = ay, tí iṣẹ́ g jẹ́ iṣẹ́ tí a ṣàlàyé sórí R pẹ̀lú

                                    g(t) = Ce^-at * f(t)

  Nígbà tí iṣẹ́ jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba  y’ = ay

                                        f’(t) = af(t)

  Nígbà yẹn

                                   g’(t) = -ae^-at *f(t) + e^-at *f’(t)

                                           =   – e^-at *af(t) + e^-at*f’(t)

                                           =   –  e^-at *f’(t) + e^-at*f’(t)

                                           =    0

Èyí tó túmọ̀ sí g jẹ́ iṣẹ́ aláìṣeyípadà

Nígbà tí  e^-at*f(t) = C  èyí tó túmọ̀ sì

                                       f(t) = C x 1/ e^-at = Ce^at

 Àlàkalẹ̀ :  Ìyànju ìṣedọ́gba yíyàtọ̀ irú y’ = ay
                   Nígbà tí ẹ bá ròronúwòye ìṣèdọ́gba yìyàtọ̀  3y’ + 5y = 0
a)    Ẹ ṣàwárí àwọn irúfẹ́ ìrísí àwọn ojútùú ìṣèdọ́gba

1. Ẹ ṣàwárí àwọn ìlà mélòó kan tó jẹ́ ojútùú iṣẹ́ pẹ̀lú ẹ̀rọ ìṣirò tàbí ètòlẹ́sẹesẹ̀

2. Ẹ ṣàwárí ojútùú ẹyọ kan tí f(1) = 2

Ojútùú : ?

Àbùdá :
Nígbà tí f àti g bá jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ y’=ay, èyí túmọ̀ sí pé àwọn f + g àti kf kЄ R jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀.

Déìṣàfíhàn:

(𝑓 + 𝑔)  » = 𝑓  » + 𝑔  » = 𝑎𝑓 + 𝑎𝑔 = 𝑎(𝑓 + 𝑔)
– (𝑘𝑓) » = 𝑘𝑓  » = 𝑘 × 𝑎𝑓 = 𝑎(𝑘𝑓

Àbùdá :
Iṣẹ́ tà -b/a jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ y’ = ay + b ( a≠ 0 ) ojútùú yìí ni ojútùú àkànṣe aláìṣeyípadà.

• Ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ irúfẹ́ y’ = ay + b

Àbùdá :
Iṣẹ́ tà -b/a jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ y’ = ay + b ( a≠ 0 ) ojútùú yìí ni ojútùú àkànṣe aláìṣeyípadà.

            Àbùdá :
            Iṣẹ́ tà -b/a jẹ́ ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ y’ = ay + b ( a≠ 0 ) ojútùú yìí ni ojútùú àkànṣe
aláìṣeyípadà.

             Déìṣàfihàn :
Àgbékalẹ̀ g(t) = -b/a, ìyẹn g’(t) = 0 àmọ́ ag(t) +b = ax(-b/a) + b = b-b =0=ǵ(t)
Nítorí náà   g’(t) = ag(t) + b

             Déìṣàfihàn :
Àgbékalẹ̀ g(t) = -b/a, ìyẹn g’(t) = 0 àmọ́ ag(t) +b = ax(-b/a) + b = b-b =0=ǵ(t)
Nítorí náà   g’(t) = ag(t) + b

             Déìṣàfihàn :
Àgbékalẹ̀ g(t) = -b/a, ìyẹn g’(t) = 0 àmọ́ ag(t) +b = ax(-b/a) + b = b-b =0=ǵ(t)
Nítorí náà   g’(t) = ag(t) + b

              Déìṣàfihàn :
Àgbékalẹ̀ g(t) = -b/a, ìyẹn g’(t) = 0 àmọ́ ag(t) +b = ax(-b/a) + b = b-b =0=ǵ(t)
Nítorí náà   g’(t) = ag(t) + b

               Déìṣàfihàn :
Àgbékalẹ̀ g(t) = -b/a, ìyẹn g’(t) = 0 àmọ́ ag(t) +b = ax(-b/a) + b = b-b =0=ǵ(t)
Nítorí náà   g’(t) = ag(t) + b

               Àbùdá : Àwọn ojútùú ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀  𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0) ni àwọn isẹ́ tí wọ́n
ní ìrísí  t ⟼ 𝐶𝑒^at− b/a

                Iṣẹ́ àdáṣe

Àlàkalẹ̀ :  Ìyànju ìṣedọ́gba yíyàtọ̀ irú y’ = ay + b
Nígbà tí ẹ bá ròronuwòye ìṣèdọ́gba yìyàtọ̀ ( E )   2y’ – y = 3
a)    Ẹ ṣàwárí ojútùú àkànse ti ìṣèdọ́gba yíyàtọ̀ ( E )

1. Ẹ ṣàwárí ìrísí àwọn gbogbo ojútùú ti ìṣèdọ́gba yíyàtọ́ y’ = 1/2y

2. Ẹ ṣàfihàn ìrísí àwọn ojútùú ìsèdọ́gba  ( E )

3. Ẹ ṣàwárí ojútùú ẹyọ kan iṣẹ́ f nígbà tí f(0) = -1