Ìṣedọ́gba yíyàtọ̀ onígbọrọ ìpele èkèjì
( Differential equation )

1 Àlàyá pẹ̀lú ìtúmọ̀ àwọn ọ̀rọ̀

Àwọn ìṣedọ́gba tí ìrísí wọn rí báyìí :

(E)              a(t)y”(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = f(t)
Ni a ń pè ni ìṣedọ́gba yíyàtọ̀ onígbọọrọ yẹpẹrẹ  y jẹ́ isẹ́ rere tí a ò mọ̀; a, b, c àti f jẹ́ àwọn iṣẹ́ rere tí a mọ̀. Àwọn iṣẹ́ a, b , c ni a ń pè ni olùlọ́po ÌNÍI ,tí f sì jẹ́ apá kèjì ìṣedọ́gba

Àlàyé 1.1
Nígbà tí a bá mú ìkókó I ti R ( Òùnkà rere ) a gbà pé

1. Àwọn isẹ́ a, b, c jẹ́ aláìníhò nínú ìkókó I

2. Fún gbogbo t a(t) ≠ 0
   Pẹ́lú àwọn àlàkalẹ̀ wọ̀nyìí, àbájáde ( E) lórí I ni gbogbo iṣẹ́ y ti ọ̀wọ́ C² lórí I,  (E) dọ́gbà fún gbogbo t ti I. H ni àwọn kání wájú. Pẹ̀lú àwọn káni H
   Ọ̀rọ̀
   – Α máa sọ pé ojútùú ìṣedọ́gba ( E ) jẹ́ ìṣọ̀kan tí iṣẹ́ f bá jẹ́ òdo fún gbogbo t ti I, èyí  f ≡ 0.
   – Α á sọ pé ( E ) jẹ́ oní olùlọ́po aláìṣeéyípadà tí àwọn isẹ́ a, b, c bá jẹ́ aláìṣeéyípadà.

2.2   Àwójútùú ìṣedọ́gba ÌYÍI onígbọọrọ ìpele kéjì

• Bóyá ojútùú wà
  Ìdáàbà 2.1, nígbà tí káni H bá jẹ́ òótọ́, a lè sọ wí pé ìṣedọ́gbà ( E ) ní ojútùú àìlóńkà.
  Àlàyé 2.2 a ṣègbòrò káni ìbẹ̀rẹ̀ ( KI ) dé àwọn káni irúfẹ́ y’(t₁) = β nígbà tí t₁ ∈ I . Ìṣòrò Gauchy tó Jẹ́mọ ÌYÍI onígbọọrọ ìpele 2 béèrè fún ìsopọ̀ káni ìpele méjì :

( P )       a(t)y’’(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = f(t)                                                          y(t0) = ɑ,   y’(t1) =β.

Ojútùú yìí fi dá wa lójú pé  fi dá wa lójú pé àbájáde ọkan péré ni ìṣòrò yìí ní.

Òfin sáyẹ́nsì 2.1 : Nígbà tí àwọn káni H bá jẹ́ òótọ́ , èyí máa túmọ̀ sí pé ìsòrò Gauchy
ní àbájáde ọ̀kan péré nínú I.

Àkíyèsí : Nígbà tí kò bá sí káni ìpilẹ̀ ÌYÍI Gauchy ní ojútùú àìlóǹkà pẹ̀lú káni méjì, ìpìlẹ̀ ojútùú jẹ́ ọ̀kan péré.

Bíi ti ÌYÍI ìpele 1, àbájáde yìí máa fún wa ni àlàkalẹ̀ ìṣírò ojútùú ìdọ́gba ÌYÍI ìpele èkèjì.

Òfin Sáyẹnsì 2.2 Nígbà tí a bá mú ìkókó I ti R àti ( E ), tí àwọn káni H sì jẹ́ òótọ́, àbájáde gbogbo ( E ) jẹ́
                                                       y(t) = y_h(t) + y₀(t)

• y_h(t) jẹ́ àbájáde ti ìṣedọ́gbà ìṣọ̀kan tó jẹ́mọ ( E ) ti a pè ni E_h
  

                         ( E_h )   a(t)y”(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = 0

• y₀ jẹ́ àbájáde àkànṣe ti ( E ).

Ìpele méjì ni a máa lò fún àwójútùú, bíi ti ÌYÍI ìpele 1, a máa lò ìpele méjì fún àbájáde ìṣòrò

1. Ìṣòrò àwọn àbájáde ìṣedọ́gbà ìṣọ̀kan ( E_h )

2. Àwárí àbájáde àkànṣe ìṣedọ́gba pátápátá

• Àwójútùú ìsedọ́gbà ÌYÍI àkànṣe ìpele 2

Ìsedọ́gbà ÌYÍI àkànse tó rí báyìí ni a fẹ́ mójútó

                                   ( E_h )   a(t)y”(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = 0

Nígbà tí àwọn olùlọ́po kò bá ti jẹ́ aláìseyípadà a ò ní ọ̀rọ̀ kan pàtó fún ojútùú ìṣedọ́gba
ÌYÍI ìpele èkèjì tó sì yàtọ sí ìsedọ́gba ÌYÍI ìpele 1

Àbá 2.2  Nígbà tí I bá jẹ́ ìkókó ti a ṣàlàyé, àwọn a,b, c sì jẹ́ aláìníhò tí a(t) ≠ 0, àwọn ojútùú àwọn ìṣedọ́gba aláìṣeyípadà ( E_h ) rí báyìí.

                                                     y(t) = λ y₁(t) + μy₂(t)

Nígbà tí y₁, y₂  jẹ́ ojútùú ti ìlà wọn kò jẹ́ mọ́ ara wọn, èyí tó túmọ̀ sí pé y1(t)/y2(t) kìí ṣe aláìṣeyípadà àwọn oǹkà λ àti μ jẹ́ alàíṣeyípadà oǹka rere. Èyí túmọ̀ sí pé àwọn ojútùú jẹ́ agbègbè àkójọ eletò-ìtọ́kasí olópo méjì.

Nígbà tí a bá tẹ̀lé àbá yìí a yóò rí pé ti a bá mọ̀ ojútùú méjì tí ìlà wọn kò pápọ̀ ti ( E_h ), èyí túmọ̀ sí pé a lè mọ̀ gbogbo ojútùú.

Ó sì tún rọrùn pé tí a bá mọ̀ ojútùú ọ̀kan ti ìṣedọ́gba ìsọkan ÌYÍI a lè rí èkèjì tó yàtọ sí ti àkọ́kọ́ tí á sì wa fún wa ni àǹfààní láti mọ̀ gbogbo èyí tó kù.

Àlàkalẹ̀ ìdíkù àtòtẹ̀lé :  ó jẹmọ àlàkalẹ̀ ìyípadà aláìṣeyípadà. Ọ̀nà ni :

Ìpele 1 : Ìfinúwò ojútùú y₁ ti ìṣedọgba ( E_h ) : Ẹ wó ìrísí ìṣedọ́gba náà kí ẹ sì lò àwọn iṣẹ́ onírúyepúpọ̀ wọ̀nyìí.

t, t², e^t (tí  a(t) + b(t) + c(t) = 0, y(t) = e^t

Ìpele 2:  Α á ṣe àwárí ojútùú y₂ tí ( E_h ) pẹ̀lú àlàkalẹ̀ ìyípadà aláìṣeyípadà, èyí tó túmọ̀ sí

y₂(t) = C(t)y₁(t)

Ìpele kẹ́ta : ojútùú pátápátá ni

y(t) = λ y₁(t) + μy₂(t), où λ, μ ∈ R.

Iṣẹ́ àdáṣe

• t²y” + ty’ –y = 0

• ty” -2( t -1)y’ + ( t -2 )y = 0 t > 0

Irú ÌYÍI onígbọọrọ ìṣọ̀kan ti ìpele kèjì oní olùlọ́po aláìṣeyípadà :

(E_c)        ay”(x) + by’(x) + cy(x) = 0.

Tí a, b, c ∈ R pẹ̀lú a≠ 0.

Α fẹ́ lò àlàkalẹ̀ ìdíkù àtòtẹ̀lé fi rójútùú ìṣedọ́gba yìí. Ìpele àkọ́kọ́ a yóò béèrè tí ìsedọ́gba ní ojútùú irú y(t) = e^rt

y(t) = e^rt   y’= re^rt   y”= r²e^rt

Nígbà tí a bá kó gbogbo èyí sínú ( Ec )    ( ar² + br + c ) e^rt = 0

ar2 + br + c = 0

Àfìdámọ̀ ìṣedọ́gba ( Ec )

Ìyàsọtọ̀  ∆ = b2 -4a  ìsedọ́gba r₁ àti r₂ ni àwọn orísun ( oǹkaye rere tàbí tóṣòro tó yàtọ̀ tàbí tó dàpọ̀).

Nígbà tí dẹ́tà ∆ > 0 ìṣedọ́gba yìí máa ní orisùn méjì r₁ ≠ r₂ oǹkaye rere tí

y₁(t)=e^r1t     àti     y2 = e^r2t

Wọ́n jẹ́ ojútùú tó yàtọ̀ tì wọ́n ò sì lè pàde ara wọn.

y(t)  = C1 er1t  + C2 er2t pẹ̀lú  C1, C2  aláìṣeyípadà aláìnídìí

Nígbà tí ∆ < 0 , ìṣedọ́gba wa máa ní ojútùú méjì ti wọ́n jẹ́ oǹkaye tóṣòrò àsopọ̀.

r = ɑ + iβ  àti   r̄ = ɑ – iβ

y(t)  = C1 ert  + C2 er̄t pẹ̀lú  C1, C2 Є C   jẹ́ oǹkaye tóṣòrò

Nígbà tí a bá fẹ́ jẹ́ kí wọn jẹ́ oǹkaye rere

y(t)  = ert  ( Αcos( βt ) + Bsin(βt) ) Α, B Є R

Nígbà tí ∆ = 0 ìṣedọ́gba máa ni orísun ẹyọ kan r=-b/2a ( orísun ìlọ́poméjì ).
Α máa ní y₁(t) = e^rt  orísun ÌYÍI ìṣòkan ( E_c ) pẹ̀lú àlàkalẹ̀. Pẹ̀lú àlàkalẹ̀ ìdíku àtòtẹ̀lé a á rí ojútùú kèjì.
y₂(t)=te^rt  tí wọ́n sì yàtọ̀ sí ara wọn lọ́nà gbọọrọ

y(t)  = ert  ( Α + B(t) )  Α, B aláìṣeyípadà aláìnídìí

Iṣẹ́ àdáṣe

(a)      2y′′ + 3y + y = 0       (c) y′′ + 2y′ + y = 0 ,

(b)     5y′′ + 2y′ + y = 0

• Àwárí ojújùú àkànṣe

Α á ròronuwòye sórí ÌYÍI pátápátá.

a(t)y”(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = f(t)

Èyí túmọ̀ sí pé a ń wa ojútùú àkànṣe. Nǹkan tí a máa ṣe ni kí a wá tí a bá lè rí ojútùú tó fojú hàn, bí kò bá jẹ́ bẹ́ẹ̀ a yóò lò àwọn àlàkalẹ̀ wọ́nyìí:

• ÌYÍI oníolùlọ́po aláìṣeyípadà

Nígbà tí apá kèjì bá rí bíi  f(t) =  ꭤcos(t) + βsin(t)Àwárí ojútùú àkànṣe tó rí bíi
                                                   y₀(t) = c₁ cos(t) + c₂ sin(t)

• Nígbà tí apá kèjì bá rí bíí

       f(t) = e^λt + P_n(t)  pẹ̀lú  P_n onírúiyepúpọ̀ oní ìyí n

• Àkọ́kọ́ 1º Nígbà tí

  aλ² + bλ + c ≠ 0  èyí tó túmọ̀ sí pé λ ≠ r₁  àti  λ ≠ r₁  

  a máa ṣàwárí ojútùú àkànṣe ojútùú àkànṣe tí ìrí sí  wà báyìí

  y₀(t) = e^λtQ_n(t)    tí Q_n  onírúiyepúpọ̀ oní ìyí n

• Èkèjì 2º Nígbà tí

  aλ² + bλ + c = 0  pẹ̀lú  2ɑλ + b  ≠ 0  èyí tó túmọ́ sí   λ=r₁    λ=r₂  avec  r1 ≠  r2

                                    Α máa ṣàwárí ojútùú ìẹí sí máa wà báyìí :

y₀(t) = e^λt tQ_n(t)    tí Q_n  onírúiyepúpọ̀ oní ìyí n

Ẹ̀kẹta 3º      Nígbà tí    λ=r₁ =r_{2 .}  Α máa ṣàwárí tí ìrísí wà báyìí :
y₀(t) = e^λt t²Q_n(t)   tí Q_n  onírúiyepúpọ̀ oní ìyí n

Gbogbo  : Àlàkalẹ̀ ìyípadà aláìṣeyípadà  Ìlànà pàtàkì kan níí :
Α ti rí ojútùú ìṣèdọ́gba ìṣọ̀kan

   y_h(t) = Ay₁(t) + By₂(t)     a máa ṣàwárí ojútùú

                                                        y₀(t) = A(t)y₁(t) + B(t)y₂(t)

Α máa ṣàwàrí àwọn iṣẹ́ tó ṣàẹrídájú ìlànà ètò yìí

Ìlànà                                              y₁(t)A(t) + y₂(t)B(t) = 0

                                                         y₁’(t)A’(t) + y₂’(t)B’(t) =  f(t)/a(t)

Ìlànà ètò ni ti ìlànà onígbọọrọ  ( Α(t) , B(t) ) tí
Àwòmọ́ :

y1(t)        y2(t) w(t)    y1’(t)      y2’(t)

Tí a ń pè ni Wronskien ti y₁ àti  y₂  ṣé ètò ( I ) ní àwọn ojútùú ?
Bẹ́ẹ̀ ni  nítórí w(t) jẹ́ òdo

  W(t) = y₁(t)y₂’(t)  – y₁’(t)y₂(t)  = y₁(t)²(y₂/y₁)(x) ≠ 0 Nígbà tí y1 àti y2 jẹ́ alápọ̀gbà