1 Àfidámọ̀
Α ṣàlàyé aljẹ́brà bóòlù sórí àkójọ E2 tí àwọn ìdá-ìpìlẹ̀ jẹ́ { 0, 1 }. Ìtò tó wà láàrin àwọn òùnkà ni 0 < 1 àti àwọn ìṣìrò ìpìlẹ̀ mẹ́ta. Ìyòdì tí a ṣàlàyé sórí àtẹ 1 jẹ́ iṣẹ́
E2 —> E2. Àwọn iṣẹ́ àpapọ̀ tí a ń pè ni TÀBÍ, tó sì tún jẹ́ ìgóróró pẹ̀lú àmì +, àti àpàdé ( àtẹ 2 ọ̀tún ) tí a ń pè ni Àti tí àmì jẹ́ ojú àmì

Wọ́n jẹ́ iṣẹ́   E2 X E2 —> E2

Fún gbogbo  a,b,c  Є E2 àwọn àfidámọ́ wọ̀nyìí dájú :                    

1)  0  jẹ́ ìdá-ìpìlẹ̀ kéretan, 1 jẹ́ ìdá-ìpìlẹ̀ ògóróró

a.1 = a           nítorí  kéretan (a,1) = a

a+0 = a          nítorí ògóróró (a,0) = a
a.0 = 0

a+1 = 1

2) Ìyípò :

  1. a = 0 nítorí Kéretan (0,1) = 0
    a+a = 1          nítorí ògóróró (0,1) = 1

3) Ìyípadà

a.b = b.a

a+b = b+a

                    Nítorí àwọn iṣẹ́ kéretan àti ògóróró ṣe yípadà

4) Àpapọ̀

a.(b.c) = (a.b).c= a.b.c

a+(b+c) = (a+b)+c= a+b+c

Nítorí àwọn iṣẹ́ ògóróró àti Kéretan ṣe papọ̀

5) Ìpinkírí

a.(b+c) = a.b+a.c

a+(b.c) = (a+b).(a+c)

6) Àbùdá DE MORGAN

a.b = a + b

a+b =   a.b

 

Àtẹ 3 ni àwòrán déṣàfihàn àbùdá DE Morgan


Àtẹ 3 : Àbùdá DE Morgan   

1.1  Àwọn oníṣe  ΑTÀBÍ ( ΑLÒDÌ TÀBÍ )  àti ΑÀTI ( ΑLÒDÌ ÀTI )

        

Àwòrán 1 Fún wa ni àmì-ìdámọ̀ àwọn oníṣe kọ̀ọ̀kan pẹ̀lú ìlẹ̀kùn ọgbọ́n. Oníyípadà ( alòdì ) ni ìṣe aláyípo.

                   NOT             ÀTI                TÀBÍ         NΑND             NOR
                                                Àwòrán 1:  Àwọn ìlẹ̀kùn ọgbọ́n

 

Àwòrán 2 Fún wa ni ìfihàn aláfojúwò àbùdá Morgan

 

                                       Àwòrán 2:  Ìṣàfihàn àbùdá DE Morgan

Àwọn ìlẹ̀kùn ọgbọ́n ń ṣiṣẹ́ lórí àwọn oǹkaye ọgbọ́n 0 dé 1, nǹkan tí a gbàgbọ́ ni kí wọ́n ṣiṣẹ́ lẹ́sẹ̀kẹ́sẹ̀, èyí túmọ̀ sí pé ìdádúró láti lè jẹ́ òdo. Àwọn ìgbékiri iná mànàmáná ni a ń lò fi rọ àwọn ìlẹ̀kùn ọgbọ́n wọ̀nyìí, èyí fi yé wa pé ìdádúró màa wà láàrin ìwọlé àti ìjáde.

Ó ṣe pàtàkì ká mọ̀ pé a ò lè lò àwọn ìgbékiri iná fi ṣàrídájú àwọn àfidámọ̀ aljẹ́brà bóòlù.
Α kò lè ṣàrídájú àwọn àfidámọ̀

a.a = 0        àti   a + a = 1

Àwòrán 3  fi hàn wa pé látórí ìdádúró tó wà láàrin ìwọlé àti ìjáde oníyípadà, ìgbà méjì wà tí àwọn ìdọ́gba kò lè ṣe rídájú. Nńkan ti ń ṣẹlẹ̀ pẹ̀lú E = E
Èyí ni a ń pè ni àìdánilójú. Α máa fọwọ́sí àmì ìgbékiri iná mànàmáná tí àwọn òfin àbùdá aljẹ́brà bóòlù bá dájú, tí kò sí àìdánilójú kan.

Àwòrán 3 : Àwọn àkùnà tó somọ́ ìdádúró nínú ìlẹ̀kùn ọgbọ́n

1.2  Àwọn iṣẹ́ Bóòlù

Nígbà gbogbo a lè lò àwọn iṣẹ́ bóòlù nígbà tí :

Ei X Ej X Ek……..Ep ——->E2

Nígbi tí   Ej = { 0, 1, 2,          , i-1 }
Àwọn oníyípadà ni iye oǹkaye rere. Àtẹ 4 ń ṣàfihàn iṣẹ́ bóòlù  tí oníyípadà t jẹ́ alákóméjì ti y jẹ́ alákómẹ́tà.

Nígbà tí àwọn iṣẹ́ tí a ń lò ni oníyípadà ìwọlé tó jẹ́ ọ̀kan náà , a máa ń lò àwọn àpapọ̀ àwọn oǹkaye alákóméjì.

E2 X E2 X …….XE2            E2

Àtẹ 5 máa fún wa ni irúfẹ́ iṣẹ́ ti oníyípadà t àti y. Ọ̀nà tí a fi ṣàfihàn iṣẹ́ bóòlù ni a ń pè ni àtẹ òótọ́.

Ọnà púpọ̀ ni a máa ń ṣàfihàn iṣẹ́ bóòlù. Ìṣòrò méjì ni a máa ń  bá pàde, nígbà tí a bá ṣètò lórí iṣẹ́ bóòlù : Ó yẹ ká lè tọ́ka sórí ìwọlé àtẹ, kí a sì tún lè so iṣẹ́ kan mọ́ ìwọlé kọ̀ọ̀kan àtẹ.

1.2.1  Ọ̀rọ̀ ìyàtọ̀ tó ṣe déédéé

Ní ìwọlé àtẹ kọ̀ọ̀kan a máa lò oníyípadà mi , m0 somọ́́ ìlà 0, m1 somọ́ ìlà 1… bẹ́ẹ̀ bẹ́ẹ̀ lọ.
Ìsòrò méjì ni a máa ń bá pàde, nígbà tí a bá ń ṣètò lórí iṣẹ́ bóòlù, ó yẹ ká lè tọ́ka sórí ìwọlé àtẹ kí a sì tún lè so iṣẹ́ kan mọ́ ìwọlé.

Ọ̀rọ̀ onílọ́po kan jẹ́ ìpàde gbogbo àwọn oníyípadà ìwọlé tí a ṣàfihàn wọn nígbà tí oǹkaye bá jẹ́ 1.
Α máa ń so oǹkaye si ti iṣẹ́ bóòlù s mọ́ ọ̀rọ̀ onílọ́po mi . a lè kọ gbogbo àwọn ọ̀rọ̀ S báyìí :

S = m0.S0 + m1.S1 + m2.S2 + m3.S3

Fún àgbékalẹ̀ ìwọlé ọ̀rọ̀ kan mi dọ́gba mọ́ 1, nígbà tí àwọn ìyókù dọ́gba mọ́ 0, Lọ́gan  s = mi.si = si nígbà tí ọ̀rọ̀ olùlọ́po mi bá jẹ́ 1.
Α lè ṣàkíyèsí pé oǹkaye 0 tí iṣẹ́ ( si = 0 ) kò sí nínú ọ̀rọ̀ s ( nítorí mi.0 = 0)tó sì parẹ́ nínú àpopọ̀ ọgbọ́n  a á tún ṣàkíyèsí pé nígbà tí s = 1, a máa ní mi.si = mi.
Α lè ṣàgbéjáde àlàkalẹ̀ tó wúlò yìí, ọ̀rọ̀ ìpínyà tó ṣé déédéé ti iṣẹ́ bóòlù. Àpapọ̀ ọgbọ́n àwọn ọ̀rọ̀ olùlọ́po tí iṣẹ́ jẹ́ oǹkaye 1, ni fún wa ọ̀rọ̀ ìpìnyà tó ṣé déédéé.

s = 1 nígbà tí m1 = 1 tàbí nígbà tí m2 = 1 àtí tí m1 + m2 = 1     ===>     s = m1 + m2

 s = ty + ty

Α lè lò àfidámọ̀ ìrísí ìpínyà déédéé yìí fi parọ̀ àtẹ òótọ́ pẹ̀lú èyí tó sunki.
Α lè ṣàfihàn àwọn iṣẹ́ lọ́nà :

f =   Σ m ( Àkójọ àwọn ọ̀rọ̀ onílọ́po tó dọ́gba mọ́ 1 fún iṣẹ́ yìí )

Àpẹẹrẹ                                                                                                         

Α máa kọ iṣẹ́ f = Σ m( 1,2 ) ti àtẹ 5, èyí tó túmọ̀ sí pé àtẹ 8 tí ń iṣẹ́ àtẹ 5.

Iṣẹ́ àkànṣe tí a mú bíi àpẹẹrẹ ni a ń pè ni tàbí ìpínyà tí àmì rẹ̀ jẹ́ + àwòrán :

 

Àgbékalẹ̀ iṣẹ́ tàbí onípínyà pẹ̀lú àti tàbí/àti ti ìpínyà déédéé lórí àwòrán 5.

 

Àwòrán 5:  Tàbì onípínyà ti ọ̀rọ̀ onípínyà

1.2.2 Ọ̀rọ̀ alòdì ÀTI ti alòdì ÀTI ( ΑÀTI )

Α máa ṣèyípadà ọ̀rọ̀ ìpínyà déédéé sí ọ̀rọ̀ ΑÀTI ti ΑÀTI pẹ̀lú àbùdá Morgan. Àwòrán 6 máa  ṣàfihàn ẹ̀. Ọ̀rọ̀ ìpínyà déédéé máa yípadà sí ọ̀rọ̀ àdáṣe tí àdáṣe tí a bá ṣèyípadà àwọn ìlẹ̀kùn ọgbọ́n ΑÀTI pẹ̀lú ÀTI pẹ̀lú àwọn ìlẹ̀kùn ọgbọ́n TÀBÍ pẹ̀lú ÀTI.

1.2.3  Ọ̀rọ̀ àsopọ̀ tó ṣe déédéé

Ọ̀nà àfihàn mì-ín wà : Ọ̀rọ̀ àsopọ̀ déédéé, a máa ṣàlàyé àfikùn ọ̀rọ̀  ( ògóróró tí a á sì ṣé àpàdé àwòrán 9 a ṣàfihàn àfikún ọ̀rọ̀ ti iṣẹ́ oníwọlé méjì.

Àkíyèsí : Nígbà tí oníyípadà ìwọlé kan wọlé tààrà sórí ìlẹ̀kùn ọgbọ́n Tàbí, a máa ròronuwoyé wí pé ó gba ìlẹ̀kùn ọgbọ́n Àti oníwọlé kan, tó sì yípadà sí oníyípadà ( Ìlẹ́kùn alòdì Àti oníwọlé kan ).

Àwọn àfikún ọ̀rọ̀ ti àtẹ òótọ́ oníwọlé méjì :

Àwọn ọ̀rọ̀ àfikún ni àpapọ̀ àwọn oníyípadà ìwọlé alòdì tí oǹkaye bá jẹ́ 1 tí a ò lòdì tí oǹkaye bá jẹ́ 0.
Α máa so oǹkaye Si pẹ̀lú ọ̀rọ̀ àfikún kọ̀ọ̀kan Mi ( Àwòrán ).

Α lè ṣeé bíi àpadé àwọn àfikún báyìí :

              S = ( M0 + S0 ).( M1 + S1 ).( M2 + S2 ).( M3 + S3 )
Ọ̀rọ̀ ọ̀kan Mi máa jẹ́ 0 nígbà tí àwọn tó kù máa jẹ́ 1. Α máa ní  s = Mi + Si = Si tí ọ̀rọ̀ onílọ́po Mi bá jẹ́ 0, nígbà tí  j≠1a máa ní  Mj = 1 a máa ní èyí tó túmọ̀ sí
Mj + Sj = 1, tí wọ́n sì jẹ́ ọ̀rọ̀ tí kòṣakọ-kòṣabo fún àpadé.

Α lè ṣàkíyèsí pé àwọn oǹkaye 1 tí iṣẹ́ ò darapọ̀  mọ́ ọ̀rọ̀ S ( nígbà tí Mi + 1 = 1, tí ìlọ́po ọgbọ́n máa gbé 1 mì ).

Α máa sàkíyèsí pé tí Si = 0 Mi + Si = Mi.
Α lè ṣàgbékalẹ̀ àlàkalẹ̀ tó wúlò tí a sì fún wa ni ọ̀rọ̀ ìpínyà tó ṣe déédéé ti iṣẹ́ bóòlù :
Àpàpọ̀ ogbọ́n àwọn ọ̀rọ̀ onílọ́po tí oǹkaye bá jẹ́ 1 ni fún wa ni ọ̀rọ̀ tó ṣe déédéé.

Α lè sọ pé ọ̀rọ̀ dọ́gba mọ́ éyí tó wà láti ọ̀rọ̀ ìpínyà déédéé

1.2.4  Ọ̀rọ̀ ΑTÀBÍ ti ΑTÀBÍ

Α lè sàfihàn lọ́nà kan náà pé iṣẹ́ ṣàtúntò gbogbo iṣẹ́ bóòlù pẹ̀lú ΑTÀBÍ ti TÀBÍ.
Àbùdá Moẹgan ni á fún wa lórí ọ̀rọ̀ ìpínyà tó ṣe déédéé.

1.3 Ìsọdìrọ̀rùn àwọn ọ̀rọ̀ bóòlù

Ìsọdìrọ̀rùn wa láti àwọn àfidámọ̀ aljẹ́brà bóòlù ti a ṣàlàyé ni ìbẹ̀rẹ̀ orí yìí.
Nígbà tí a bá wo àpẹẹrẹ iṣẹ́ oníyípadà méjì.

Àkíyèsì :

Nígbà tí oníyípadà ìwọlé kan wọnú ìlẹ̀kùn ÀTI a ní láti ròronuwòye pé ó dá ìlẹ̀kùn TÀBÍ oníwọlé kan, tó sì ǹ yípadà sí oníyípòpadà ( Ìlẹ̀kùn alòdì tàbí oníwọlé kan.

Α máa kọ ọ̀rọ̀ tí a ò sọdirọ̀rùn lọ́nà yìí

Α lè ṣé ìṣọ̀dìrọrùn pẹ̀lú àlànà àtẹ Karnaugh.

Àlànà yìí dúró sórí ọ̀nà tí a fi ṣàfihàn àtẹ òótọ́ tó sì jẹ́ ká ìṣèbáramusí àwọn oníyípadà jáde.

Àwòrán 7  àtẹ karnaugh oníyípadà ìwọlé méjì, ń ṣàfihàn àpẹẹrẹ àtẹ karnaugh fún oníyípadà ìwọlé méjì. Àwọn onígun mẹ́ẹin tó jẹmọ́ àwọn ọ̀rọ̀ ìlọ́po m0 dé m3. Àwọn iṣèbáramusí ní ti  t, y  ṣàfojúhàn. Àpapọ̀ àwọn ọ̀rọ̀ ìṣèbáramusí máa jẹ́ kí oníyípadà kan máa parẹ nínú ọ̀rọ̀ kan. Nínú àpapọ̀ ìdá-ìpìlẹ́ mẹ́rin pẹ̀lú iṣèbaramúsí méjì máa jẹ́ kí a lè pa oníyípadà méjì máa jẹ́ rẹ nínú ọ̀rọ̀…bẹ́ẹ̀ bẹ́ẹ̀ lọ. Α máa ṣàfihàn àtẹ Karnaugh nínú iṣẹ́ oníyípadà mẹ́rin pẹ̀lú àwọn atọ́ka oǹkaye ti onígun mẹ́rin tó jẹmọ́ àfikún àwọn ílọ́po.

Nígbà tí a bá tọ́ka oǹkaye fún àwọn onílọ́po méjì e3 e2 e1 e0 tí e0 bá  jẹ ́àlọ́poméjì ti agbára kére.

Àwọn àlàkalẹ̀ ìsọdìrọ̀run àwọn iṣẹ́ bóòlù pẹ̀lú àtẹ karnaugh niwọ̀nyìí

  • Α ní láti mú

  • Gbogbo àwọn ọ̀rọ̀ onílọ́po ti iṣẹ́ bóòlù wọ́n dọ́gba mọ́ 1 lẹ́kan tàbí méjì tàbí òun nìkan tí àpapọ̀ kò bá ṣeé ṣe

  • Láti ṣèyọ́kúrò ọ̀pọ̀ oníyípadà a nínú ọ̀rọ̀ onílọ́pọ a máa.

  • Ẹ máa mú àwọn àpapọ̀ tàbí àwọn ọ̀rọ̀ onílọ́po tó wúlò láti fi ní 1, ó kére jú lẹ́kan làìsì àfikùn tí kò wúlò.

Àlàkalẹ̀ àtẹ Karnaugh múná dókó tí oníyípadà, ò bá jẹ́ àgbékalẹ̀ àwòrán máa lè sí. Ó máa lè láti ṣàfihàn àwọn ìṣèbáramúsí, àlàkalẹ̀ náà kò níí wúlò mọ́ nígbà yẹn a máa lo àwọn àlàkalẹ̀ tó lágbára bíi  ti Quine-Mc Cluskey, tó jẹ́ ìpìlẹ̀ àwọn ọ̀nà ìwádìí nínú ìmọ̀ ẹ̀rọ tí ń lò nínú àwọn ètòlẹ́sẹẹsẹ mì ín ń lò àwọn àlàkalẹ̀ ìtunkọ àwọn ọ̀rọ̀.

Α á ṣàkíyèsí pé àwọn ìṣọ̀rọ̀ àwọn ìsọdìrọ̀rùn àwọn ọ̀rọ̀ bóòlù wa fún àwọn ọ̀rọ̀ tó rọrùn pẹ̀lú àwọn oníyípadà tí kò pọ̀ ti àtẹ Karnaugh sì kájú ẹ, tàbí fún àwọn ọ̀rọ̀ tó takókó pẹ̀lú oníyípadà tó pọ̀ tí ìmúlò àwọn ètòlẹ́sẹẹsẹ sì pọn dandan.

1.3.1 Irú àwọn iṣẹ́ ti àlàyé ò pé

 Àwọn isẹ́ bóòlù mì ín wà tí kò níí àwọn oǹkaye tó jẹmọ́ àwọn ọ̀rọ̀ onílọ́po mélòó kan , a kò níítọ́ka sí wọ́n, nígbà kankan oǹkaye tó máa jẹmọ́ wọ́n lè jẹ́ 0 tàbí 1, a máa kọ wọn pẹ̀lú d tàbí O .

Àpẹẹrẹ iṣẹ́ bóòlù tí àlàyé ò pé ni ìfihàn oní apá méjè, Α lè ṣàfihàn àwọn oǹkaye mẹ́wà tí ounka mẹ́wà ti a ko láti a dé g ti a sì jẹ́ 0 ( pípa ) tàbí 1 ( títan ).àmì àwọn oǹkaye 10 béèrè fún bíìtì 4 ti a kọ láti e3 dé e0. Àtẹ 13 ń fún wa wa  ni àwọn iṣẹ́ 7 bóòlù tí fún wa ni títàn àwọn apá 7 láti a dé g tó jẹmọ́ àwọn bíìtì e3 dé e0.
Láti sọ àwọn iṣẹ́ wọ̀nyìí dìrọ̀rùn a á lò àwọn oǹkaye 0 tàbí 1 mọ́ o fi ráyè láti rí ìsọdìrọ̀ẹùn tó ga.
Àtẹ 10 ṣàfihàn àtẹ Karnaugh tó so mọ́ ọ.

 

Akim Agueh
Author: Akim Agueh

Compte